13  Seminar 06: K-NN, K-Means, estimare ML

13.1 Exercițiul 1: k-NN

1. Fie următorul set de 10 vectori, compus din 5 vectori din clasa A și 5 vectori din clasa B:
   • Clasa A: \[\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix}2 \\ -4\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix}1 \\ -5\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix}-2 \\ 6\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_4 = \begin{bmatrix}-3 \\ 4\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_5 = \begin{bmatrix}2 \\ -5\end{bmatrix}\]
   • Clasa B: \[\mathbf{v}_6 = \begin{bmatrix}3 \\ 1\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_7 = \begin{bmatrix}-1 \\ 1\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_8 = \begin{bmatrix}-4 \\ -3\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_9 = \begin{bmatrix}-3 \\ 0\end{bmatrix}\; \mathbf{v}_{10} = \begin{bmatrix}-2 \\ 3\end{bmatrix}\]

Calculați clasa vectorului \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}-2 \\ 5 \end{bmatrix}\) folosind algoritmul k-NN, pentru diverse valori ale lui \(k\): \(k=1\), \(k=3\), \(k=5\), \(k=7\) și \(k=9\)

Rezolvare

Pentru a calcula clasa vectorului \(\mathbf{x}\) folosind algoritmul k-NN, trebuie să găsim cei mai apropiați \(k\) vecini ai săi din setul de vectori dat și să determinăm clasa majoritară dintre acești vecini. Vom face acest lucru pentru fiecare valoare a lui \(k\): 1, 3, 5, 7 și 9.

Vecinii se determină folosind distanța Euclidiană între vectori. \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_i) = \sqrt{ (x_1 - v_{i1})^2 + (x_2 - v_{i2})^2}\]

Pentru \(\mathbf{x} = \begin{bmatrix}-2 \\ 5 \end{bmatrix}\), distanțele față de vectorii din setul de date sunt: \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_1) = \sqrt{ (-2 - 2)^2 + (5 + 4)^2} = \sqrt{97}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_2) = \sqrt{ (-2 - 1)^2 + (5 + 5)^2} = \sqrt{109}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_3) = \sqrt{ (-2 + 2)^2 + (5 - 6)^2} = \sqrt{1}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_4) = \sqrt{ (-2 + 3)^2 + (5 - 4)^2} = \sqrt{2}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_5) = \sqrt{ (-2 - 2)^2 + (5 + 5)^2} = \sqrt{116}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_6) = \sqrt{ (-2 - 3)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{41}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_7) = \sqrt{ (-2 + 1)^2 + (5 - 1)^2} = \sqrt{17}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_8) = \sqrt{ (-2 + 4)^2 + (5 + 3)^2} = \sqrt{68}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_9) = \sqrt{ (-2 + 3)^2 + (5 - 0)^2} = \sqrt{26}\] \[d(\mathbf{x}, \mathbf{v}_{10}) = \sqrt{ (-2 + 2)^2 + (5 - 3)^2} = \sqrt{4}\]

Aranjăm distanțele în ordine crescătoare: \[\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{4}, \sqrt{17}, \sqrt{26}, \sqrt{41}, \sqrt{68}, \sqrt{97}, \sqrt{109}, \sqrt{116}\] care corespund cu următorii vecini ai lui \(\mathbf{x}\), de la cel mai apropiat la cel mai îndepărtat: \[\mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4, \mathbf{v}_{10}, \mathbf{v}_7, \mathbf{v}_9, \mathbf{v}_6, \mathbf{v}_8, \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_5\]

Decizia asupra clasei vectorului \(\mathbf{x}\) se ia în funcție de clasa majoritară a celor mai apropiați vecini ai săi, în număr de \(k\).

Pentru \(k=1\): considerăm doar primul vecin, \(\mathbf{v}_3\), din clasa A, deci clasa lui \(\mathbf{x}\) este A.

Pentru \(k=3\): primii \(3\) vecini sunt \(\mathbf{v}_3\), \(\mathbf{v}_4\) și \(\mathbf{v}_{10}\), dintre care doi sunt din clasa A și unul din clasa B, deci clasa lui \(\mathbf{x}\) este A.

Pentru \(k=5\): vecinii sunt \(\mathbf{v}_3\), \(\mathbf{v}_4\), \(\mathbf{v}_{10}\), \(\mathbf{v}_7\) și \(\mathbf{v}_9\), dintre care doi sunt din clasa A și trei din clasa B, deci clasa lui \(\mathbf{x}\) este B.

Pentru \(k=7\): vecinii sunt \(\mathbf{v}_3\), \(\mathbf{v}_4\), \(\mathbf{v}_{10}\), \(\mathbf{v}_7\), \(\mathbf{v}_9\), \(\mathbf{v}_6\) și \(\mathbf{v}_8\), dintre care doi sunt din clasa A și cinci din clasa B, deci clasa lui \(\mathbf{x}\) este B.

Penru \(k=9\): vecinii sunt \(\mathbf{v}_3\), \(\mathbf{v}_4\), \(\mathbf{v}_{10}\), \(\mathbf{v}_7\), \(\mathbf{v}_9\), \(\mathbf{v}_6\), \(\mathbf{v}_8\), \(\mathbf{v}_1\) și \(\mathbf{v}_2\), dintre care patru sunt din clasa A și cinci din B, deci clasa lui \(\mathbf{x}\) este B.

13.2 Exercițiul 2: k-Means

Fie următoarele zece valori numerice: \[\mathbf{v} = \left\lbrace v_i \right\rbrace = [ 1.1, 0.9, 5.5, 0.6, 5, 6, 1.3, 4.8, 6, 0.8 ] \]

Efectuați cinci iterații ale algoritmul k-Means pentru a găsi doi centroizi \(\mathbf{c}_1\) și \(\mathbf{c}_2\), pornind de la două valori aleatoare \(\mathbf{c}_1 = 0.95\) și \(\mathbf{c}_2 = 0.96\).

Rezolvare

Algoritmul k-Means urmărește găsirea a \(k\) centroizi care se grupeze datele de intrare în clustere bine definite.

Algoritmul are următorii pași:

1. Se aleg \(k\) centroizi inițiali \(\mathbf{c}_1, \mathbf{c}_2, \dots, \mathbf{c}_k\). În cazul nostru, valorile inițiale sunt date: \(\mathbf{c}_1 = 0.95\) și \(\mathbf{c}_2 = 0.96\).
2. Pentru fiecare vector \(\mathbf{v}\) din setul de date, se calculează distanțele față de fiecare centroid, \(d(\mathbf{v}, \mathbf{c}_i)\), și vectorul este asignat centroidului cel mai apropiat.
3. Se recalculează centroizii ca fiind media vectorilor care au fost asignați fiecărui centroid în parte
4. Se repetă pașii 2-4 până când centroizii nu se mai modifică, sau se atinge numărul maxim de iterații.

În cazul nostru, avem \(k=2\) și \(N=10\) vectori de intrare (numerele individuale).

La iterația 1:

• numerele asignate lui \(c_1 = 0.95\) sunt: \([0.9, 0.6, 0.8]\), iar cele asignate lui \(c_2 = 0.96\) sunt: \([1.1, 5.5, 5, 6, 1.3, 4.8, 6]\)
• recalculăm centroizii: \[c_1 = \frac{0.9 + 0.6 + 0.8}{3} = 0.77\] \[c_2 = \frac{1.1 + 5.5 + 5 + 6 + 1.3 + 4.8 + 6}{7} = 4.2\]

La iterația 2:

• numerele asignate lui \(c_1 = 0.77\) sunt: \([0.9, 0.6, 0.8, 1.1, 1.3]\), iar cele asignate lui \(c_2 = 4.2\) sunt: \([5.5, 5, 6, 4.8, 6]\)
• recalculăm centroizii: \[c_1 = \frac{0.9 + 0.6 + 0.8 + 1.1 + 1.3}{5} = 0.94\] \[c_2 = \frac{5.5 + 5 + 6 + 4.8 + 6}{5} = 5.46\]

La iterația 3:

• numerele asignate lui \(c_1 = 0.94\) sunt: \([0.9, 0.6, 0.8, 1.1, 1.3]\), iar cele asignate lui \(c_2 = 5.46\) sunt: \([5.5, 5, 6, 4.8, 6]\)
• recalculăm centroizii: \[c_1 = \frac{0.9 + 0.6 + 0.8 + 1.1 + 1.3}{5} = 0.94\] \[c_2 = \frac{5.5 + 5 + 6 + 4.8 + 6}{5} = 5.46\]

Se observă că centroizii nu se mai modifică, deci din acest moment iteratițiile pot fi terminate algoritmul converge.

Rezultatul final este cel de la ultima iterație:

• centroidul \(c_1\) este \(c_1 = 0.94\) și are asignate numerele \([0.9, 0.6, 0.8, 1.1, 1.3]\)
• centroidul \(c_2\) este \(c_2 = 5.46\) și are asignate numerele \([5.5, 5, 6, 4.8, 6]\)

13.3 Exercițiul 3: estimare ML

Se recepționează un semnal constant de amplitudine necunoscută A, afectat de zgomot gaussian, \(r(t) = \underbrace{A}_{s_\Theta(t)} + zgomot\), unde zgomotul este de tip gaussian \(\mathcal{N}(\mu = 0, \sigma^2 = 2)\).

Semnalul este eșantionat la momentele \(t_i = [0,1.5,3,4]\) și se observă valorile \(r_i = [4.6, 5.2, 5.35, 4.8]\).

Estimați valoarea lui A folosind estimarea Maximum Likelihood

Rezolvare

Întrucât zgomotul este de tip gaussian, estimarea Maximum Likelihood (ML) se reduce la problema minimizării distanței Euclidiene între semnalul observat și semnalul original. \[\hat{A}_{ML} = \arg \min_{A} d(\mathbf{r}, \mathbf{s})^2\]

Vectorul observații este cel dat în problemă: \[\mathbf{r} = [4.6, 5.2, 5.35, 4.8]\]

Vectorul semnalului original este ceea ce ar fi trebuit să observăm la cele patru momentele de timp \(t_i = [0,1.5,3,4]\) dacă nu ar fi existat zgomot, adică \(A\): \[\mathbf{s} = [A, A, A, A]\]

Distanța Euclidiană la pătrat între cei doi vectori este: \[d(\mathbf{r}, \mathbf{s}) = (A - 4.6)^2 + (A - 5.2)^2 + (A - 5.35)^2 + (A - 4.8)^2\]

Vrem să găsim valoarea lui \(A\) care minimizează această distanță. Pentru aceasta, derivăm expresia după \(A\) și o egalam cu 0: \[\frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial A} = 2 \cdot (A - 4.6) + 2 \cdot (A - 5.2) + 2 \cdot (A - 5.35) + 2 \cdot (A - 4.8) = 0\]

Rezolvând aceasta ecuație, obținem estimarea ML a lui A: \[\hat{A}_{ML} = \frac{4.6 + 5.2 + 5.35 + 4.8}{4} = 4.9875\]

13.4 Exercițiul 4: estimare ML

Un semnal de forma \(r(t) = A \cdot t^2 + 2 + zgomot\) este eșantionat la momentele \(t_i = [1,2,3,4,5]\), și valorile obținute sunt \(r_i = [1.2, 3.7, 8.5, 18, 25.8]\). Distribuția zgomotului este \(\mathcal{N}(0,\sigma^2=1)\).

Estimați parametrul \(A\) folosind estimarea ML.

Rezolvare

Singura diferență față de exercițiul anterior este că semnalul original nu mai este constant, ci este de forma \(A \cdot t^2 + 2\).

Așadar, valorile semnalului original la momentele de eșantionare \(t_i = [1,2,3,4,5]\) sunt: \[\mathbf{s} = [A + 2, \;\; 4A + 2, \;\; 9A + 2, \;\; 16A + 2, \;\;25A + 2]\]

Distanța Euclidiană la pătrat între cei doi vectori este:

\[\begin{aligned} d(\mathbf{r}, \mathbf{s}) &= (A + 2 - 1.2)^2 + (4A + 2 - 3.7)^2 + (9A + 2 - 8.5)^2 + (16A + 2 - 18)^2 + (25A + 2 - 25.8)^2 \\ &= (A + 0.8)^2 + (4A - 1.7)^2 + (9A - 6.5)^2 + (16A - 16)^2 + (25A - 23.8)^2 \end{aligned}\]

Derivând expresia după \(A\) și o egalam cu 0, obținem estimarea ML a lui A: \[\frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial A} = 2 \cdot (A + 0.8) + 2 \cdot (4A - 1.7) \cdot 4 + 2 \cdot (9A - 6.5) \cdot 9 + 2 \cdot (16A - 16) \cdot 16 + 2 \cdot (25A - 23.8) \cdot 25 = 0\]

Rezolvând aceasta ecuație, obținem estimarea ML a lui A: \[\hat{A}_{ML} = \frac{-0.8 + 1.7 \cdot 4 + 6.5 \cdot 9 + 16 \cdot 16 + 23.8 \cdot 25}{1 + 4^2 + 9^2 + 16^2 + 25^2} = 0.93\]

13.5 Exercițiul 5: estimare ML

Valorile măsurate ale unei funcții liniare \(y = ax\), unde \(a\) este necunoscut, sunt următoarele: \((x_i, y_i) = {(1,1.8),(2,4.1),(2.5, 5.1),(4,7.9),(4.3, 8.5)}\). Presupunând că zgomotul are distribuția \(\mathcal{N}(0,\sigma^2=1)\), estimați valoarea lui \(a\) folosind estimarea ML

Rezolvare

Suntem în același caz ca la exercițiile anterioare, doar că de data aceasta avem ușor altă formulare a problemei.

În loc sa avem eșantioane din \(r(t)\) la momente de timp \(t_i\), avem eșantioane din \(y(x)\) la valori ale lui \(x_i\). Așadar, valorile \(y_i\) joacă rolul valorilor \(r_i\) din exercițiile anterioare, iar \(x_i\) rolul lui \(t_i\).

Valorile măsurate sunt cele ale \(y_i\): \[\mathbf{r} = \mathbf{y} = [1.8, 4.1, 5.1, 7.9, 8.5]\]

În absența zgomotului, pentru o funcție liniară \(y = ax\), valorile semnalului original la valorile \(x_i = [1,2,2.5,4,4.3]\) ar fi fost: \[\mathbf{s} = [a \cdot 1, \;\; a \cdot 2, \;\; a \cdot 2.5, \;\; a \cdot 4, \;\; a \cdot 4.3]\]

Zgomotul fiind de tip gaussian, estimarea ML înseamnă minimizarea distanței Euclidiene între \(\mathbf{r}\) și \(\mathbf{s}\): \[d(\mathbf{r}, \mathbf{s})^2 = (a-1.8)^2 + (2a-4.1)^2 + (2.5a-5.1)^2 + (4a-7.9)^2 + (4.3a-8.5)^2\]

Aflăm minimul expresiei prin derivare și egalare cu 0: \[\frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial a} = 2 \cdot (a-1.8) + 2 \cdot (2a-4.1) \cdot 2 + 2 \cdot (2.5a-5.1) \cdot 2.5 + 2 \cdot (4a-7.9) \cdot 4 + 2 \cdot (4.3a-8.5) \cdot 4.3 = 0\]

Rezolvând aceasta ecuație, obținem estimarea ML a lui A: \[\hat{a}_{ML} = \frac{1.8 + 4.1 \cdot 2 + 5.1 \cdot 2.5 + 7.9 \cdot 4 + 8.5 \cdot 4.3}{1 + 4 + 2.5^2 + 16 + 4.3^2} = 2.29\]

13.6 Exercițiul 6: estimare ML cu mai mulți parametri

Un robot se deplasează pe o traiectorie liniară cu o viteză necunoscută \(V\) centimetri/secundă, pornind de la poziția \(x = 0\) la momentul inițial.

La intervale de o secundă, robotul măsoară distanța parcursă folosind un senzor, afectat de zgomot gaussian \(\mathcal{N}(0,\sigma^2=0.1)\).

Valorile măsurate la momentele \(t_i = [1,2,3,4,5]\) sunt \(r_i = [4.9, 9.8, 14.3, 21.2, 25.7]\)

Cerințe:

1. Estimați viteza \(V\) a robotului folosind estimarea ML

   Hint: Dacă viteza e constantă, distanta parcursă ar trebui să fie \(x = V \cdot t\)

2. Preziceți poziția robotului la momentul \(6\).

3. Dacă presupunem la momentul inițial poziția robotului nu este 0, ci o valoare necunoscută \(x_0\), estimați perechea de parametri [V, \(x_0\)] folosind estimarea ML. Preziceți poziția robotului la momentul \(6\).

4. Știind că legea de mișcare este \(x(t) = \frac{a \cdot t^2}{2} + v_0 \cdot t + x_0\), scrieți sistemul de ecuații pentru găsirea necunoscutelor [a, \(v_0\), \(x_0\)]. (accelerația constantă \(a\), viteza inițială \(v_0\), poziția inițială\(x_0\)).

Rezolvare

Avem de a face cu estimarea ML în zgomot gaussian, deci vom proceda similar cu exercițiile anterioare.

1. Viteza robotului fiind constantă, poziția sa este dată de legea de mișcare \[x(t) = V \cdot t\]

   În absența zgomotului, valorile poziției la momentele \(t_i = [1,2,3,4,5]\) ar fi fost: \[\mathbf{s} = [V \;\; 2V, \;\; 3V, \;\; 4V, \;\; 5V],\] dar valorile observate sunt: \[\mathbf{r} = [4.9, 9.8, 14.3, 21.2, 25.7]\]

   Distanța Euclidiană la pătrat între cei doi vectori este: \[d(\mathbf{r}, \mathbf{s})^2 = (V - 4.9)^2 + (2V - 9.8)^2 + (3V - 14.3)^2 + (4V - 21.2)^2 + (5V - 25.7)^2\] Derivăm: \[\frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial V} = 2 \cdot (V - 4.9) + 2 \cdot (2V - 9.8) \cdot 2 + 2 \cdot (3V - 14.3) \cdot 3 + 2 \cdot (4V - 21.2) \cdot 4 + 2 \cdot (5V - 25.7) \cdot 5 = 0\] și obținem viteza: \[\hat{V}_{ML} = \frac{4.9 + 9.8 \cdot 2 + 14.3 \cdot 3 + 21.2 \cdot 4 + 25.7 \cdot 5}{1 + 4 + 9 + 16 + 25} = 5.10\]

2. Prezicem poziția la momentul \(t=6\) aplicând aceeași lege de mișcare, folosind viteza estimată: \[x(6) = 5.10 \cdot 6 = 30.6\]

3. Dacă poziția inițială este valoare necunoscută \(x_0\), atunci avem de estimat doi parametri: \(V\) și \(x_0\). Acest lucru se face în mod asemănător, după cum urmează.

   În absența zgomotului, valorile poziției la momentele \(t_i = [1,2,3,4,5]\) ar fi fost: \[\mathbf{s} = [V + x_0, \;\; 2V + x_0, \;\; 3V + x_0, \;\; 4V + x_0, \;\; 5V + x_0],\] iar distanța pătratică față de valorile observate este: \[d(\mathbf{r}, \mathbf{s})^2 = (V + x_0 - 4.9)^2 + (2V + x_0 - 9.8)^2 + (3V + x_0 - 14.3)^2 + (4V + x_0 - 21.2)^2 + (5V + x_0 - 25.7)^2\]

   Avem acum o expresie cu două necunoscute, \(V\) și \(x_0\), pe care dorim să o minimizăm. Pentru aceasta derivăm după fiecare dintre ele, egalăm cu 0, și rezolvăm sistemul de ecuații astfel obținut.

   Avem: \[ \begin{cases} \frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial V} = 2 \cdot (V + x_0 - 4.9) + 2 \cdot (2V + x_0 - 9.8) \cdot 2 + 2 \cdot (3V + x_0 - 14.3) \cdot 3 + 2 \cdot (4V + x_0 - 21.2) \cdot 4 + 2 \cdot (5V + x_0 - 25.7) \cdot 5 = 0 \\ \frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial x_0} = 2 \cdot (V + x_0 - 4.9) + 2 \cdot (2V + x_0 - 9.8) + 2 \cdot (3V + x_0 - 14.3) + 2 \cdot (4V + x_0 - 21.2) + 2 \cdot (5V + x_0 - 25.7) = 0 \end{cases} \] Simplificând și prelucrând relațiile, obținem: \[ \begin{cases} 55V + 15x_0 = 280.7 \\ 15V + 5x_0 = 75.9 \end{cases} \] Rezolvând acest sistem, obținem soluția: \[\hat{V}_{ML} = 5.3, \;\; \hat{x}_{0,ML} = -0.72\]

   Pentru a estima poziția la momentul \(t=6\), folosim aceeași lege de mișcare, cu parametrii estimati: \[x(6) = V \cdot 6 + x_0 = 5.3 \cdot 6 - 0.72 = 31.08\]

4. La punctul precedent am considerat o viteză constantă, deci accelerația egală cu 0. În cele ce urmează, considerăm un caz mai general, cu accelerație diferită de 0.

   Legea de mișcare este: \[x(t) = \frac{a \cdot t^2}{2} + v_0 \cdot t + x_0\] unde \(a\) este accelerația, \(v_0\) este viteza inițială, iar \(x_0\) este poziția inițială. Toate cele trei mărimi sunt necunoscute care trebuie estimate.

   În absența zgomotului, valorile poziției la momentele \(t_i = [1,2,3,4,5]\) ar fi fost: \[\mathbf{s} = [\frac{a}{2} + v_0 + x_0, \;\; 2a + 2v_0 + x_0, \;\; \frac{9a}{2} + 3v_0 + x_0, \;\; 8a + 4v_0 + x_0, \;\; \frac{25a}{2} + 5v_0 + x_0],\] așadar distanța pătratică față de valorile observate este: \[d(\mathbf{r}, \mathbf{s})^2 = (\frac{a}{2} + v_0 + x_0 - 4.9)^2 + (2a + 2v_0 + x_0 - 9.8)^2 + (\frac{9a}{2} + 3v_0 + x_0 - 14.3)^2 + (8a + 4v_0 + x_0 - 21.2)^2 + (\frac{25a}{2} + 5v_0 + x_0 - 25.7)^2\]

Cele trei derivate parțiale în raport cu necunoscutele formează un sistem de trei ecuații cu trei necunoscute, pe care îl rezolvăm pentru a obține estimările ML ale parametrilor: \[ \begin{cases} \frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial a} = 2 \cdot (\frac{a}{2} + v_0 + x_0 - 4.9) \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (2a + 2v_0 + x_0 - 9.8) \cdot 2 + 2 \cdot (\frac{9a}{2} + 3v_0 + x_0 - 14.3) \cdot \frac{9}{2} + 2 \cdot (8a + 4v_0 + x_0 - 21.2) \cdot 8 + 2 \cdot (\frac{25a}{2} + 5v_0 + x_0 - 25.7) \cdot \frac{25}{2} = 0 \\ \frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial v_0} = 2 \cdot (\frac{a}{2} + v_0 + x_0 - 4.9) + 2 \cdot (2a + 2v_0 + x_0 - 9.8) \cdot 2 + 2 \cdot (\frac{9a}{2} + 3v_0 + x_0 - 14.3) \cdot 3 + 2 \cdot (8a + 4v_0 + x_0 - 21.2) \cdot 4 + 2 \cdot (\frac{25a}{2} + 5v_0 + x_0 - 25.7) \cdot 5 = 0 \\ \frac{\partial d(\mathbf{r}, \mathbf{s})}{\partial x_0} = 2 \cdot (\frac{a}{2} + v_0 + x_0 - 4.9) + 2 \cdot (2a + 2v_0 + x_0 - 9.8) + 2 \cdot (\frac{9a}{2} + 3v_0 + x_0 - 14.3) + 2 \cdot (8a + 4v_0 + x_0 - 21.2) + 2 \cdot (\frac{25a}{2} + 5v_0 + x_0 - 25.7) = 0 \end{cases} \]

Rezolvarea acestui sistem este lăsată ca exercițiu pentru cititor.