8 Seminar 01: Variabile aleatoare și probabilități
8.1 Exercițiul 1
Fie A o variabilă aleatoare continuă cu distribuția
- a). Reprezentați grafic funcția densitate de probabilitate a lui A (distribuția lui A)
- b). Calculați probabilitatea
- c). Calculați probabilitatea
- d). Reprezentați funcția de repartiție
și scrieți-i expresia matematică - e). Care e distribuția variabilei aleatoare
definită ca ? - f). Care e distribuția variabilei aleatoare
definită ca ?
Rezolvare
a). Distribuția uniformă
b). Probabilitatea
c). Probabilitatea
d). Funcția de repartiție
Așadar, graficul funcției de repartiție, este cel de mai jos.
Expresia matematică este:
e). Distribuția variabilei aleatoare
f). Distribuția variabilei aleatoare
8.2 Exercițiul 2
Fie A o variabilă aleatoare continuă cu distribuția normală
- a). Calculați probabilitatea
- b). Care e distribuția variabilei aleatoare
definită ca ? - c). Care este valoarea maximă a distribuției
, și pentru ce valoare se atinge? - d). (**) Care e distribuția variabilei aleatoare
definită ca ?
Rezolvare
a). Probabilitatea
Așadar:
- Distribuția variabilei aleatoare
este distribuția variabilei translatată cu 2 unități la stânga, așadar o distribuție normală cu media -1 și cu aceeași varianță, .
- Inspectând graficul funcției de densitate normală, se observă că maximul este atins întotdeauna în dreptul mediei. Aici, media are valoarea 1, deci maximul este:
d). Dacă valorile lui
Din pacate aici întâlnim o problemă, pentru că expresia la care am ajuns nu este o distribuție Gaussiană, întrucât
În realitate, ne induce în eroare faptul că “a lua valori în jurul lui
Pentru o rezolvare corectă, ne întoarcem la definiția funcției de repartiție, pe care o putem defini întotdeauna în mod riguros:
Așadar, dacă
Densitatea de probabilitate este derivata funcției de repartiție, așadar:
Recunoaștem în rezultatul de mai sus o distribuție normală, cu media
Așadar, la triplarea valorilor lui
Rezultatul de mai sus se poate generaliza.
Dacă o variabilă aleatoare cu distribuție normală se scalează cu o orice constantă
În plus, aceeași metodă bazată pe funcția de repartiție se poate folosi și pentru alte distribuții, cum ar fi cea uniformă.
Temă pentru acasă: folosind aceeași metodă, demonstrați riguros că dacă o variabilă aleatoare cu distribuția uniformă
8.3 Exercițiul 3
Considerând că scorul IQ urmează o distribuție
- a). Probabilitatea ca o persoană oarecare să aibă IQ > 130
- b). Dacă populația globului este 8 miliarde, câți oameni au IQ mai mic decât 75
- c). (**)Ce IQ minim trebuie să ai pentru a fi între primii 2%?
Rezolvare
a). Probabilitatea ca o persoană oarecare să aibă IQ > 130 este:
b). Trebuie să calculăm probabilitatea ca o persoană oarecare să aibă IQ < 75, și să înmulțim cu populația globului:
8.4 Exercițiul 4
Fie A o variabilă aleatoare discretă, cu valorile posibile
- a). Reprezentați grafic distribuția lui A
- b). Calculați probabilitatea
- b). Care e probabilitatea ca A să fie număr impar?
Rezolvare
- Avem 11 valori posibile, toate cu aceeași probabilitate, așadar distribuția lui A este o distribuție uniformă discretă,
. Fiecare realizare are probabilitatea .
- Fiind o variabilă discretă, putem calcula probabilitățile prin adunarea probabilităților cazurilor favorabile.
Probabilitatea ca
c). Probabilitatea ca
8.5 Exercițiul 5
Calculați probabilitatea ca 3 variabile aleatoare X, Y, Z, independente și identic distribuite (i.i.d) cu distribuția normală
Rezolvare
Fiind variabile independente, probabilitatea că toate să fie pozitive este egală cu produsul probabilităților că fiecare să fie pozitivă:
Întrucât toate urmează aceeași distribuție, probabilitatea ca
Avem:
Așadar, probabilitatea că toate să fie pozitive este:
8.6 Exercițiul 6
Fie 3 variabile aleatoare cu distribuțiile:
- a). Este mai probabil ca tripleta de valori (A, B, C) să ia valori în jurul lui (2, -6, 3) sau în jurul lui (-2, -3, 2)?
- b). Găsiți 3 valori pozitive
pentru care probabilitatea ca (A, B, C) să aibă valori în jurul lui să fie egală cu probabilitatea de a avea valori în jurul lui (2, -6, 3)
Rezolvare
TODO